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tanx的导数(讨论正切函数tanx导数的代数与几何原理)

最近我们展示了正弦,余弦函数求导的几何原理,形象直观,更容易理解,今天我们就来讲讲正切函数求导的几何原理,它在一定程度上比正弦,和余弦函数要更为复杂一点。

第一:代数下的推导方式

进行几何推导之前,我们先来欣赏一种优美的代数下的推导方法,这里用到的是分部积分法

数学漫步:探讨正切函数tanx导数的代数与几何原理

首先将tan=sinX/cosX,运用分部积分法,我们很容易得到如下结果

数学漫步:探讨正切函数tanx导数的代数与几何原理

最后化简,就得到tanX导数等于(1/cosX)^2

数学漫步:探讨正切函数tanx导数的代数与几何原理

第二:几何下的推导

我们先做一个单位圆,并旋转X度时,我们可以得到用三角函数形式表示的线段,如下图所示:cosX,sinX,tanX,secX,等等。

如果把角度增加微小的量ΔX时,就得到一个微元三角形ΔABC,该三角形的面积等于1/2*Δy*1。

但ΔABC面积又等于1/2* sec(X+ΔX)* secX* sinΔX,

所以我们就得到Δy= sec(X+ΔX)* secX* sinΔX,


数学漫步:探讨正切函数tanx导数的代数与几何原理

最终我们就得到了tanX的导数,它等于(1/cosX)^2,或者可以写成正割函数的平方secX^2。